Problema de aplicación de la diferencial de una función

Aplicación de la Diferencial de una Función

En cálculo, la diferencial de una función \( f(x) \) es una forma de describir cómo cambia \( f(x) \) con respecto a un pequeño cambio en \( x \). La diferencial \( df \) se define como:

\[ \begin{equation} df = f'(x) \, dx \end{equation} \]

Problema de Aplicación: Área de un Círculo

Supongamos que tenemos un círculo con un radio \( r \) y queremos encontrar el cambio en el área \( A \) del círculo cuando el radio cambia por una pequeña cantidad \( dr \).

Paso 1: Encuentra la Función

La fórmula para el área \( A \) de un círculo en términos del radio \( r \) es:

\[ \begin{equation} A = \pi r^2 \end{equation} \]

Paso 2: Encuentra la Diferencial

Para encontrar \( dA \), la diferencial del área, derivamos ambos lados de la ecuación (2) con respecto a \( r \).

\[ \begin{equation} dA = 2 \pi r \, dr \end{equation} \]

Paso 3: Aplicación

Supongamos que el radio del círculo es de 5 cm y queremos saber cuánto cambia el área si el radio aumenta en 0.1 cm. Usamos la ecuación (3) para encontrar \( dA \).

\[ \begin{equation} dA = 2 \pi (5 \, \text{cm}) (0.1 \, \text{cm}) = \pi \, \text{cm}^2 \end{equation} \]

Por lo tanto, el área del círculo aumentará en aproximadamente \( \pi \, \text{cm}^2 \) cuando el radio aumente en 0.1 cm.